反常积分∫0到无穷e^(-x^2)dx=？(求解正割函数的五次方的不定积分的全过程？)

1、反常积分∫0到无穷e^(-x^2)dx=？

k1 = ∫0到无穷e^(-x^2)dx

k2 = ∫0到无穷e^(-y^2)dy

k1*k2 =

∫0到无穷

∫0到无穷e^(-x^2)dx e^(-y^2)dy = ∫0到无穷 ∫0到无穷 e^[(-x^2)+(-y^2)dx dy

转到极坐标:

x^2 + y^2 = r^2 ; dxdy = r dr d(theta)

积分是在第一象限:

k1*k2 =

∫ 0到pi/2 [ ∫0到无穷 e^(-r^2)rdr ] d(theta)

=

∫ 0到pi/2 [(1/2) ∫0到无穷 e^(-r^2)d(r^2) ] d(theta)

let z=r^2,

k1*k2 =

∫ 0到pi/2 [(1/2) ∫0到无穷 e^(-z)dz ] d(theta) =

∫ 0到pi/2 (1/2) d(theta) = (1/2)*(pi/2)

= pi/4

so k1 = (pi/4)^(0.5)

k1=∫0到无穷e^(-x^2)dxk2=∫0到无穷e^(-y^2)dyk1*k2=∫0到无穷∫0到无穷e^(-x^2)dxe^(-y^2)dy=∫0到无穷∫0到无穷e^[(-x^2)+(-y^2)dxdy转到极坐标:x^2+y^2=r^2;dxdy=rdrd(theta)积分是在第一象限:k1*k2=∫0到pi/2[∫0到无穷e^(-r^2)rdr]d(theta)=∫0到pi/2[(1/2)∫0到无穷e^(-r^2)d(r^2)]d(theta)letz=r^2,k1*k2=∫0到pi/2[(1/2)∫0到无穷e^(-z)dz]d(theta)=∫0到pi/2(1/2)d(theta)=(1/2)*(pi/2)=pi/4sok1=(pi/4)^(0.5)

2、求解正割函数的五次方的不定积分的全过程？

K1=∫secxdx =∫secx(secx+tanx)/(secx+tanx)dx =∫d(secx+tanx)/(ecx+tanx) =ln|secx+tanx|+C k2=∫sec^5xdx=∫sec^3xdtanx=tanxsec^3x-∫tanxdsec^3x=tanxsec^3x-3∫tan^2xsec^3dx=tanxsec^3x-3k2+3∫sec^3xdx即：k2=(1/4)tanxsec^3x+(3/4)∫sec^3xdx k3=∫sec^3xdx=∫secxdtanx=secxtanx-∫tanxdsecx=secxtanx-∫(1-cos^2x)dx/cos^3x=secxtanx-k3+∫secxdx=secxtanx-k3+k1k3=(1/2)sectanx+(1/2)ln|secx+tanx|+c 所以k2=(1/4)tanxsec^3x+(3/8)secxtanx+(3/8)ln|secx+tanx|+c.

3、范霍夫方程？

范特霍夫方程（Van 't Hoff equation）是一个用于计算在不同温度下某反应的平衡常数的方程。设 K 为平衡常数， ΔH为焓变， ΔS为熵变， T为温度。由雅各布斯·亨里克斯·范托夫提出。或者写为如果假设反应焓变在不同温度下保持恒定，则在不同温度 T1和 T2下，等式的定积分为这里 K1是在绝对温度T1下的平衡常数, K2是在绝对温度T2下的平衡常数。 ΔH是标准焓变，R 是气体常数。